DIALLOBEDUCATION

1 - Dénombrement, probabilités

Probabilités conditionnelles

Roger Federer et Raphael Nadal jouent au tennis en finale du tournoi de Wimbledon. Si Federer remporte le premier set alors il a 8 chances sur 10 de remporter le match. Si Nadal remporte le premier set alors il a une chance sur 2 de remporter le match. Nadal n'a que 3 chances sur 10 de gagner le premier set, quelle est la probabilité qu'il gagne le match ?

Il y a deux cas, il peut gagner le match en ayant gagné le premier set ou en l'ayant perdu. Il faut additionner les deux probabilités. Pour y voir plus clair, appellons S l'évènement "Nadal remporte le premier set" et M l'évènement "Nadal remporte le match", et faisons un dessin.

est la probabilité de M sachant S, c'est la probabilité que Nadal remporte le match sachant qu'il a remporté le premier set. D'après l'énoncé cette probabilité vaut ½, on la note sur l'arbre. On note sur l'arbre toutes les probabilités que l'on peut calculer.

L'évènement "Nadal perd le premier set puis remporte le match" est l'évènement . Sa probabilité est égale au produit des probabilités se trouvant sur la branche de l'évènement. Il doit déjà perdre le premier set (probabilité de 0,7) puis gagner le match sachant qu'il a perdu le premier set (probabilité de 0,2). On multiplie les probabilités.

De même, l'évènement 'Nadal gagne le premier set puis remporte le match' est l'évènement . Sa probabilité est égale à .
Finalement, la probabilité que Nadal remporte le match est égale à la somme des deux probabilités que l'on vient de calculer, c'est la formule des probabilités totales.

Raphael Nadal a un peu moins de 3 chances sur 10 de remporter le match.

Note pour les spécialistes de tennis : ce cours a été rédigé en 2006.

Ceux qui ne sont pas en terminale S ont fini le cours sur les probas, ceux qui sont en S peuvent continuer.

Dénombremement

Une urne contient 5 boules numérotées de 1 à 5, les 3 premières sont vertes, les 2 dernières sont rouges.

1. On tire une boule. Quelle est la probabilité qu'elle soit verte? C'est facile, c'est pour se mettre en forme :

2. On tire successivement 5 boules en les remettant chaque fois dans l'urne. Quelle est la probabilité de tirer 5 rouges? La réponse est

Les probabilités se multiplient.

3. On tire successivement 3 boules sans les remettre dans l'urne. Quelle est la probabilité d'obtenir 2 vertes et une rouge? Il faut examiner tous les cas qui amènent au résultat et additionner leurs probabilités. On peut faire VVR, VRV ou RVV donc la probabilité vaut :

4. De combien de façons différentes peut on tirer simultanément 3 boules de l'urne (par exemple tirer les boules 123, 125, 345, mais pas 132 car on l'a déjà compté)?
La réponse est le nombre . C'est le nombre de sous ensembles de 3 éléments contenus dans un ensemble de 5 éléments. On le calcule avec la formule :

Le nombre n! se lit "factorielle n".

Il y a 10 façons différentes.

5. On tire 3 boules en même temps. Quelle est la probabilité de tirer 2 vertes et une rouge (évènement E)? Le nombre de cas favorables est égal au nombre de possibilités de tirer 2 vertes pamis 3 vertes multiplié par le nombre de possibilités de tirer un rouge parmis 2 rouges. Le nombre de cas total est 10 (question 4). Le calcul détaillé est le suivant :

Formule de Newton

Les nombres servent aussi à développer une expression du genre . En effet :