DIALLOBEDUCATION

Définitions 

On signale un système d’équations par une accolade placée à gauche des équations.

2x + 3y + 56z

9x + 15y + 2z

Deux systèmes d’équations sont équivalents s’ils ont le même ensemble de solutions.

Un système est impossible s’il n’admet pas de solution. Il est indéterminé s’il admet une infinité de solutions.

Les principes d’équivalence pour les systèmes d’équations

-          On remplace l’une des équations du système par une combinaison linéaire des équations de ce système le facteur de l’équation remplacée étant différent de zéro : méthode d’addition ou des combinaisons linéaires.

-          Une inconnue est explicitée dans l’une des équations du système. On remplace dans toutes les autres équations du système cette inconnue par son expression : méthode de substitution.

2 équations à 2 inconnues

Méthode de résolution 

En utilisant les principes d’équivalence, on obtient une équation « simple ».

Remarques 

-          La méthode de substitution fait apparaître très souvent des fractions. On utilise donc plus volontiers la méthode d’addition, mais il existe différents types de systèmes d’équations qu’on ne peut résoudre que par la méthode de substitution.

-          Il faut préalablement mettre le système sous sa forme canonique ordonnée.

Substitution : une fois qu’une inconnue est connue, on la remplace dans le calcul.

3 équations à 3 inconnues

Méthode de résolution 

La résolution d’un système de 3 équations à 3 inconnues se ramène, par l’élimination de l’une des inconnues, à la résolution d’un système de 2 équations à 2 inconnues. De même la résolution d’un système de 4 équations à 4 inconnues se ramène à la résolution d’un système de 3 équations à 3 inconnues qui à son tour devient 2 équations à 2 inconnues.

Remarques 

-          il convient de choisir judicieusement l’inconnue que l’on désire éliminer.

-          La méthode par combinaisons linéaires est généralement plus rapide pour des systèmes de 3 équations à 3 inconnues.

Le nombre d’équation n’est pas égal au nombre d’inconnues

Si le système a plus d’inconnues que d’équations, il est généralement indéterminé, mais il peut être impossible.

Si le système a plus d’équations que d’inconnues, il est généralement impossible, mais il peut être indéterminé ou avoir une solution unique.

Résolution d’un système par la méthode de Cramer

Pour résoudre Cramer, il faut utiliser les éléments sans les inconnues, donc uniquement avec les constantes.

Définition de Cramer

Les éléments de D sont les coefficients des inconnues du système. On obtient ceux de Dx et Dy en remplaçant les coefficients de l’inconnue correspondante par les constantes du second membre.

Pour trouver les solutions, il faut diviser Dx et Dy par D.

Cette marche à suivre est valable pour les systèmes à 2, 3, 4, 5, etc… inconnues.

Exemple 

4x + 3y = 10

5x – y = 3

D =      4          3

            5          -1        = - 4 – 15 = - 19

Dx =    10       3

            3          - 3       = - 10 – 9 = - 19

Dy =    4          10

            5          3         = 12 – 50 = - 38

x = Dx = - 19 = 1                                                             y = Dy = - 38 = 2

      D      - 19                                                                           D     - 19

Remarques 

-          Si D = 0 et que Dx = 2, par exemple, le système est impossible. Par contre, si D = 0 et que Dx = 0, le système est indéterminé

-          Dans le cas d’un système incomplet, il est plus simple de résoudre le système par substitution

ENIGMES A 3 inconnues

Voici une énigme assez classique dans la forme, une peu plus calculatoire sur le fond : vous allez devoir retrouver l'âge de chacun des membres d'une  famille   dont la somme des âges est égale à 70. Pour vous aider, il y a deux choses : le père est 6 fois plus vieux que le  fils. Et lorsque la somme des âges sera égale à deux fois la somme d'aujourd'hui, le père sera deux fois plus vieux que son fils. 

Quel âge a la mère ?

BAC LITTERAIRE 1L

Sujet Mathématiques

Les deux parties de l’exercice peuvent être traités de façon indépendante.

Vincent vient d’ouvrir un restaurant. Il propose une formule à 12 euros.

PARTIE 1 :

La formule comprend :

- une entrée au choix : salade (S), terrine (T) ou melon (M) ;

- un plat principal au choix : rôti de porc (R) ou pâtes (P) ;

- un dessert au choix : fruit (F) ou glace (G)

1. Construire un arbre pour représenter les 12 menus possibles se composant d’une entrée, d’un plat principal et d’un dessert.

1. Marie est végétarienne. Elle ne mange ni terrine, ni rôti de porc.

Parmi les douze menus proposés par Vincent, combien correspondent à ses habitudes alimentaires ?

1. Vincent souhaite proposer 18 menus différents. Pour cela, il ne veut ajouter qu’un seul nouveau plat à sa carte : soit une entrée, soit un plat principal, soit un dessert.

Quelles sont ses possibilités ? Expliquer votre réponse.

PARTIE 2 :

Tous les clients ont opté pour la formule à 12 euros.

La courbe donnée en annexe 1 modélise le coût de production de  repas, pour un nombre de repas compris entre 0 et 70.

Les résultats seront donnés avec la précision permise par le graphique.

1. Quel est le coût de production de 40 repas ? Calculer la recette générée par ces 40 repas.

En déduire le bénéfice.

1. On note  la recette de  repas. Exprimer  en fonction de. Représenter la fonction  sur le graphique.

1. Pour quelles valeurs de, Vincent réalise-t-il un bénéfice ?

Vous laisserez sur l’annexe 1 les tracés expliquant votre réponse.

1. Vincent se fixe pour objectif un bénéfice d’au moins 100€.

Pour quel nombre de repas servis cet objectif est-il réalisé ?

Vous laisserez sur l’annexe 1 les tracés expliquant votre réponse.

Annexe 1

CORRIGE Exercice 1

1) L’arbre de choix des différents menus sera :

Il y a donc : 3 x 2 x 2 = 12 menus différents possibles

2) Marie est végétarienne donc comme entrée elle ne peut choisir que Salade ou Melon, comme plat elle doit prendre des pâtes et comme des desserts elle a le choix entre fruit et glace.

Marie a donc le choix entre 2 x 1 x 2 = 4 menus différents possibles.

3) Si Vincent ajoute à sa carte une entrée, le nombre de menus différents possibles sera alors égal à :

4 x 2 x 2 = 16

En revanche si Vincent décide d’ajouter un plat principal, le nombre de menus différents possibles sera alors égal à :

3 x 3 x 2 = 18

De même si Vincent décide d’ajouter un dessert, le nombre de menus différents possibles sera alors égal à :

3 x 2 x 3 = 18

Pour proposer 18 menus Vincent peut décider d’ajouter soit un plat principal soit un dessert à sa carte.

Partie 2

1) Le coût de production de 40 repas est donné par lecture graphique (voir courbe du sujet)

On peut lire environ 375 euros

La recette générée par la vente de ces 40 repas est égale à 40 x 12 = 480 euros

D’où le bénéfice :

480 – 375 = 105 euros

2) Soit R(x) la recette de x repas en euros.

On a R(x) = 12 x

La fonction R est une fonction linéaire, sa représentation graphique est une droite qui passe par l’origine et le point de coordonnées (40 ; 480)

Voir courbe : tracer à la machine

3) Vincent réalise un bénéfice lorsque la recette est supérieure au coût de production, c’est à dire lorsque la droite qui représente la fonction R est située au-dessus de la courbe qui représente la fonction coût de production.

Soit pour 30 ƒ¬ x ƒ¬ 60

Voir courbe précédente

4) Pour que le bénéfice réalisé par Vincent soit supérieur ou égal à 100 euros, sur le graphique il faut que, pour x donné, l’écart entre les ordonnées des points sur la courbe et la droite soit supérieur ou égal à 100.

Soit pour 40 ƒ¬ x ƒ¬ 55

Voir courbe : tracer à la machine

EXERCICE 2

Les deux parties de l’exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Le taux de pauvreté d’un pays est le pourcentage de pauvres dans la population de ce pays. Par définition, un pauvre est un individu vivant au-dessous du seuil de pauvreté. Toutefois, le seuil de pauvreté peut être calculé de diverses façons.

Partie 1 : Seuil mondial de pauvreté absolue

On considère comme pauvre une personne qui dispose de moins de 1,25 dollars par jour.

Vous trouverez en annexe 2 un extrait d’une feuille de calcul. La colonne B contient des valeurs (au format pourcentage) relevées tous les trois ans entre 1981 et 2005.

1. En 2005, la population mondiale s’élevait à 5,45 milliards et le nombre de personnes disposant de moins de 1,25 dollars par jour était évalué à 1,4 milliards. Calculer le taux de pauvreté absolue dans le monde entre 1981 et 2002 (arrondi à 0,1%). Compléter la cellule B10.

1. calculer le pourcentage d’évolution du taux de pauvreté absolue dans le monde entre 1981 et 2002 (arrondir à 0,1%). Interpréter le résultat.

1. La cellule A2 contient le nombre 1981. Proposez une formule, à saisir dans la cellule A3, pour obtenir par copie vers le bas les valeurs affichées jusqu’en A10.

1. On émet l’hypothèse, qu’à partir de 1981, le taux de pauvreté absolue baisse de 8,5% tous les 3 ans. On modélise cette évolution par une suite (un) : pour tout entier naturel n, le terme un est l’estimation du taux de pauvreté absolue pour l’année 1981+3n.

Ainsi u0 = 52,2 représente le taux de pauvreté absolue (52,2%) relevé l’année 1981 et u1 modélise de même le taux de pauvreté en pourcentage en 1984. La colonne D est au format nombre arrondi au dixième.

1. Justifier que u1 = 47,8.

1. On place la valeur de u0 dans la cellule D2. Parmi les formules suivantes quelle est la seule qui, placée en D3 puis recopiée jusqu’en D10, permet d’obtenir les valeurs affichées ?

=D2*0,085 / =D2*0,915 / =D2*0,085*3 / =D2*0,915^3

1. Quelle est la nature de la suite (un) ? exprimer un en fonction de n.

1. En utilisant cette modélisation, faire une prévision du taux de pauvreté absolue en 2017.

Partie 2 : Seuil européen de pauvreté relative

Le seuil de pauvreté est fixé à 60% du niveau de vie médian du pays.

Le niveau de vie est égal au revenu mensuel disponible d’un ménage divisé par le nombre d’unités de consommation (uc). Le niveau de vie est le même pour tous les individus d’un même ménage.

Les unités de consommation sont calculées ainsi : on attribue 1 uc au premier adulte du ménage puis 0,5 uc aux autres personnes de 14 ans ou plus, enfin 0,3 uc aux enfants de moins de 14 ans. Les âges sont pris au premier janvier de l’année considérée.

Exemple : en 2007 un ménage était composé des deux parents et d’un bébé. Son revenu disponible était de 2 500€ par mois.

La composition de ce ménage correspond à 1,8 unités de consommation (car : 1+0,5+0,3=1,8).

Donc, en 2007, son niveau de vie mensuel était de ≈ 1389€.

En 2007, le seuil de pauvreté en France était de 908€ par mois. Donc ce ménage n’était pas considéré comme pauvre en 2007.

1. En 2007, le ménage Martin, composé de deux parents, d’un garçon de 16 ans et d’une fille de 13 ans, avait un revenu disponible de 2000€ par mois.

Quel était son niveau de vie mensuel ? (Arrondir à l’euro).

Justifier qu’en 2007 le ménage Martin était considéré comme pauvre.

1. Le diagramme en boite ci-dessous donne la répartition des niveaux de vie mensuels (en euros) en France en 2004. Les extrémités représentent le premier et le neuvième décile de la série.

1. Sachant que la réponse est l’une des propositions ci-dessous, utiliser le diagramme pour donner la valeur médiane du niveau de vie mensuel en France en 2004 :

753€ / 989€ / 1 393€ / 1 781€ / 2 983€

1. En déduire le seuil de pauvreté en 2004 (arrondir à l’euro).

1. En 2004, le ménage Martin, composé des mêmes personnes, avait un revenu disponible de 1800€ par mois. Justifier qu’entre 2004 et 2007 le revenu disponible du ménage Martin a augmenté d’environ 11%.

1. M. Martin constate qu’entre 2004 et 2007 le seuil de pauvreté a été relevé d’environ 8,6%. Il ne comprend pas pourquoi son ménage n’était pas considéré comme pauvre en 2004 et qu’il l’était en 2007. Proposer une explication à M. Martin.

Annexe 2

A

B

C

D

 1

Années

Taux de pauvreté absolue

Rang N

Un

2

1981

52,2%

0

52,2

3

1984

47,1%

1

47,8

4

1987

41,8%

2

43,7

5

1990

41,7%

3

40,0

6

1993

38,9%

4

36,6

 7

 1996

 34,7%

 5

 33,5

 8

 1999

 33,7%

 6

 30,6

 9

 2002

31,0%

 7

 28,0

 10

 2005

 8

 25,6

Exercice 2 CORRIGE

Partie 1

1. Le taux de pauvreté absolue est égal à :

On reportera cette valeur dans la cellule

1. Le pourcentage d’évolution du taux de pauvreté absolue dans le monde entre 1981 et 2002 est une diminution égale à :

En effet :

1. La formule à saisir dans la cellule A3 et qui permettra d’obtenir par copie vers le bas les valeurs de la colonne A sera :

= A2 + 3

4.

1. On a

Or U1 est inscrit dans la colonne D, c’est un nombre arrondi au dixième

On a donc

1. La seule formule qui permet d’obtenir les valeurs affichées est :

= D2 * 0,915

1. La suite  est une suite géométrique de raison et de premier terme

On a donc

4.

donc le taux de pauvreté en 2017 est égal à

Or

 Arrondi à près

En 2017 on peut prévoir un taux de pauvreté absolue de.

Partie 2

1. Déterminons le nombre d’unités de consommation du ménage Martin :

Donc en 2007 son niveau de vie mensuel est de :

Comme 869 est inférieur à 908 euros, le ménage Martin doit être considéré comme pauvre.

2.

1. La lecture du diagramme en boîte permet de donner la valeur 1393 euros comme valeur médiane du niveau de vie mensuel en France puisqu’il est compris entre 1000 et 1500.

1. Le seuil de pauvreté est égal à  du niveau de vie médian,

Donc en 2004 :

Arrondi à l’euro près

Le seuil de pauvreté est égal à 835 euros

1. En 2004 le ménage Martin dispose de 1800 euros par mois

En 2007 le ménage Martin dispose de 2000 euros par mois

Or 2000 : arrondi à 0,01 près Donc le revenu disponible du ménage Martin a augmenté de entre 2007 et 2004.     

4. En 2004 le ménage Martin était déjà pauvre.