DIALLOBEDUCATION

Les suites

Terme u_n

Ce cours porte exclusivement sur la formulation du terme u_n d'une suite, qu'elle soit arithmétique ou géométrique.

1 L'idée générale

Une suite est un opérateur qui associe automatiquement à un nombre entier, appelé antécédent, un nombre réel, appelé image.

Une suite est telle que à un antécédent il n'y a qu'une seule image, mais qu'à une image il peut y avoir plusieurs antécédents.

2 La théorie

2.1 La suite arithmétique

Soit (u_n) une suite. (u_n) est une suite arithmétique lorsque r E R tel que Vn E N, un+1 = u_n + r.

Le réel r est appelé la raison de la suite arithmétique (u_n).

2.2 Le terme u d'une suite arithmétique

Soient (u_n) une suite arithmétique de raison r E R. ®³n E N, le terme u_n s'écrit u_n = u0 + nr.

2.3 La suite géométrique

Soit (u_n) une suite. (u_n) est une suite géométrique lorsque q E R tel que Vn E N, un+1 = qu_n.

Le réel q est appelé: la raison de la suite géométrique (u_n).

2.4 Le terme u d'une suite géométrique

Soient (u_n) une suite géométrique de raison q E R. Vn E N, le terme u_n s'écrit u_n = u0qⁿ.

3 Les astuces

Avant de montrer le caractère arithmétique d'une suite, il peut s'avérer utile de calculer ses premiers termes, par exemple jusqu'à n = 4, afin de se faire une idée a priori.

4 Exercices pratiques 4.1 Exercice 1

(u_n) est une suite arithmétique telle que u0 = 5 et u3 = 17. Calculer le terme u30.

Le terme u_n d'une suite arithmétique s'écrit u_n = u0 + nr, par conséquent on peut l'écrire:

u3 = u0 + 3r
17=5+3r
r=4

(u_n) est donc une suite arithmétique de raison r = 4. Le terme _u30 s'écrit

 alors:

u30 = u0 + 30r
u30 = 5 + 30x4
u30 = 5 + 120
u30 = 125

Le terme _u30 est donc 125.

4.2 Exercice 2

(u_n) est une suite arithmétique telle que u5 = 14 et u12 = 28. Calculer le terme u18.

Le terme u_n d'une suite arithmétique s'écrit u_n = u0 + nr, par conséquent on peut

 écrire le système:

ff     u5 = u0+5r u12 = u0+12r 14 = u0 + 5r 28 = u0+12r u0 = 14-5r 28 = 14-5r+12r u0 = 14 - 5r 14 = 7r u0 = 14 - 5r r = 2 f u0 =4

r = 2

Le terme _u18 s'écrit par conséquent:

u18 = u0 + 18r
u18 =4+ 18x2

u18 = 40

Le terme _u18 est donc 40.

4.3 Exercice 3

(u_n) est une suite géométrique telle que u0 = 3 et u3 = 81. Calculer le terme u5.

Le terme u_n d'une suite géométrique s'écrit u_n = u0qⁿ, par

 conséquent on peut écrire:

u3 = u0q³

81 = 3q³

q3 = 27

q=3

(u_n) est donc une suite géométrique de raison q = 3. Le terme u5 s'écrit alors:

u5 = u0q⁵

u5 = 3x35
u5 = 729

Le terme u5 est donc 729.